It's Italian.
From:
http://www.melegnano.net/cognomi/cognomi0001n.htm
Anelli è diffuso diffuso prevalentemente in Lombardia, l'origine può essere messa in relazione sia ad anelli particolari, cui il capostipite era legato sia ad una chioma ad anelli, cioè riccioluta , come potrebbe essere una diversificazione del cognome Agnelli, passando tramite un Anielli per diventare quindi Anelli.
What it mainly says as far as i understand is that is might be a variant of Agnelli which is from
agnello "lamb".
anello means "ring", so
anelli is its plural form.